Mutlak Değer Nedir? Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler

Matematikte, bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfırdan uzaklığını ifade eder. Mutlak değer işareti kullanılarak gösterilir ve bu işaret “| |” şeklindedir.

Örneğin, -5 sayısının mutlak değeri, |-5| şeklinde yazılır ve sonucu 5’tir. Çünkü -5 sayısı, sıfırdan 5 birim uzaklıkta yer alır ve mutlak değeri, bu uzaklıkla ifade edilir.

Diğer bir örnek olarak, 3 sayısının mutlak değeri, |3| şeklinde yazılır ve sonucu 3’tür. Çünkü 3 sayısı, sıfırdan 3 birim uzaklıkta yer alır ve mutlak değeri, bu uzaklıkla ifade edilir.

Mutlak değer, her zaman pozitif bir sayıdır. Bu nedenle, bir sayının mutlak değeri her zaman pozitif veya sıfır olacaktır.

Sayı doğrusunda bir sayının belirttiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir.

a ,  a ≥ 0 ise

| a |

− a , a < 0 i s e

Mutlak değerin Özellikleri

Matematikte mutlak değer işareti, bazı özellikleriyle tanınmaktadır. Bu özellikler şunlardır:

1. Pozitif Değer: Mutlak değer, her zaman pozitif bir sayıdır. Bu nedenle, |x| ≥ 0 herhangi bir x değeri için geçerlidir.

2. Simetri: Mutlak değer işareti, simetriktir. Yani, |x-a| = |a-x| herhangi bir x ve a için geçerlidir.

3. Üçgen Eşitsizliği: Mutlak değer, üçgen eşitsizliği olarak bilinen bir özelliğe sahiptir. Bu özellik, |x+y| ≤ |x| + |y| şeklinde ifade edilir ve herhangi bir x ve y için geçerlidir.

4. Çarpma: Mutlak değer işareti, çarpma özelliği göstermez. Yani, |xy| = |x|.|y| ifadesi her zaman geçerli değildir. Bu ifade sadece x veya y değerlerinden en az birisinin pozitif olduğu durumlarda geçerlidir.

5. Kök Alma: Mutlak değer, kök alma özelliği göstermez. Yani, |√x| = √|x| ifadesi her zaman geçerli değildir. Bu ifade sadece x değerinin pozitif olduğu durumlarda geçerlidir.

6. Ayrıştırma: Mutlak değer, ayrıştırma özelliği göstermez. Yani, |x+y| ≠ |x| + |y| ifadesi her zaman geçerli değildir.

Bu özellikler, matematikte mutlak değer işaretinin kullanımını ve işlemlerini kolaylaştırmaktadır.

1. x ∈ R için |x| ≥ 0 dır.

2. |–x| = |x|

3. |x – y| = |y – x|

4. |x.y| = |x|.|y|

5. x < |x| ⇒ x < 0

x = |x| ⇒  x ≥ 0

|x| = –x ⇒ x ≤ 0 olur.

Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler 

Mutlak değerli denklemler, mutlak değer işaretinin yer aldığı denklemlerdir. Bu denklemlerde, mutlak değer işareti içinde yer alan ifade, belirtilen bir değere eşittir.

Örneğin, |x-3| = 5 mutlak değerli bir denklemdir. Bu denklemde, x-3 ifadesinin mutlak değeri 5’e eşittir. Bu durumda, x-3 ifadesinin pozitif veya negatif olma ihtimali olduğundan, denklemin çözümü iki ayrı durumda incelenir:

x-3 = 5 veya x-3 = -5

Birinci durumda, x-3 = 5 olduğundan, x = 8 olur. İkinci durumda ise, x-3 = -5 olduğundan, x = -2 olur. Bu nedenle, denklemin çözümleri x = 8 veya x = -2 şeklinde yazılır.

Mutlak değerli eşitsizlikler ise, mutlak değer işareti içeren eşitsizliklerdir. Bu eşitsizliklerde, mutlak değer işareti içinde yer alan ifade, belirtilen bir değere eşit veya o değerden küçük veya büyük olabilir.

Örneğin, |2x-1| < 7 mutlak değerli bir eşitsizliktir. Bu eşitsizlikte, 2x-1 ifadesinin mutlak değeri 7’den küçüktür. Bu durumda, x ifadesinin pozitif veya negatif olma ihtimali olduğundan, eşitsizlik iki ayrı durumda incelenir:

2x-1 < 7 veya 2x-1 > -7

Birinci durumda, 2x-1 < 7 olduğundan, x < 4 olur. İkinci durumda ise, 2x-1 > -7 olduğundan, x > -3 olur. Bu nedenle, eşitsizliğin çözümleri -3 < x < 4 şeklinde yazılır.

1.|f(x)| = 0 ⇒ f(x) = 0

2.|f(x)| = a ⇒ f(x) = a veya f(x) = –a (a ∈ R+)

3.|f(x)| = |g(x)| ⇒ f(x) = g(x) veya f(x)= -g(x)

4. a ∈ R+,|f(x)| ≤ a ⇒ –a ≤ f(x) ≤a

5. a ∈ R+,|f(x)| ≥ a ⇒ f(x) ≥ a veya f(x) ≤ –a