Aralarında asal ne demek olduğu matematikte merak edilen hususlardan biridir ve bu durumu şöyle açıklayabiliriz, iki veya daha fazla sayının, ortak bir bölenleri olmadığı anlamına gelir. Yani bu sayılar birbirleriyle tam olarak bölünemezler.
Örneğin, 4 ve 7 aralarında asal sayılardır çünkü herhangi bir pozitif tam sayı bölünebildikleri tek sayı 1’dir. Ancak 6 ve 9 aralarında asal değillerdir çünkü 3 hem 6’yı hem de 9’u böler.
Aralarında Asal Ne Demek?
Aralarında asal ne demek konusunu araştıran okurlarımıza şunu söyleyebiliriz, aralarında asal sayılar matematikte oldukça önemli bir konudur. İki ya da daha fazla sayının aralarında asal olması, bu sayıların birbirleriyle tam olarak bölünemeyeceği anlamına gelir. Bu sayılar birbirlerine en küçük ortak katları 1’dir. Aralarında asal sayılar, özellikle sayı teorisi, kriptografi, bilgisayar bilimleri, mühendislik ve fizik gibi birçok alanda kullanılmaktadır.
Aralarında asal sayılar asal olmalı mıdır?
1 den başka ortak pozitif böleni olmayan iki veya daha fazla pozitif tam sayıya aralarında asal sayılar denir. Aralarında asal ne demek örnekler üzerinden görelim.
Örnek: Aşağıda verilen sayıların kaç tanesi aralarında asal sayıdır, bulunuz.
I. 6 ile 35 V. 25 ile 27
II. 10 ile 27 VI. 1 ile 72
III. 12 ile 16 VII. 8 ile 10
IV. 12 ile 13 VIII. 3, 5 ve 15
Çözüm:
I, II, IV, V, VI ve VIII deki sayıların 1 den başka ortak pozitif böleni
olmadığı için aralarında asaldır.
III de 12 ile 16’yı 1 dışında 2 ve 4 sayıları böldüğü için,
VII de 8 ile 10 u 1 dışında 2 böldüğü için aralarında asal değildir.
Cevap: 6
IV, V ve VI. da ki sayı ikililerini incelediğimizde aşağıdaki sonuçlar ortaya çıkar
1) Ardışık iki pozitif tam sayı aralarında asaldır.
2)Ardışık iki pozitif tek tam sayı aralarında asaldır.
3)1 ile bütün pozitif tam sayılar aralarında asaldır
Örnek:
a ve b aralarında asal sayılar ve a.b=24 olduğuna göre, a+b
toplamının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm:
Çarpımları 24 ü veren sayıları bulalım.
24=1.24, 24=2.12, 24=3.8 ve 24=4.6 dır.
1 ile 24 ve 3 ile 8 sayıları aralarında asaldır. Fakat 2 ile 12 ve
4 ile 6 nın 1 in dışında ortak bölenleri 2 olduğundan aralarında
asal değildir. O halde,
a=1, b=24 için a+b=1+24=25
a=3, b=8 için a+b=3+8=11
Cevap: 25 veya 11
İki sayının aralarında asal olup olmadığını kontrol etmek için en yaygın yöntem, her iki sayının ortak bölenleri olup olmadığını kontrol etmektir.
Eğer iki sayının ortak böleni yoksa, bu sayılar aralarında asal sayıdır. Bu yöntem, iki küçük sayının aralarında asal olup olmadığını kontrol etmek için oldukça etkilidir. Ancak, daha büyük sayılarla çalışırken bu yöntem çok zaman alabilir ve işlevsiz hale gelebilir.
Diğer bir yöntem ise, EBOB (en büyük ortak bölen) fonksiyonunu kullanmaktır. EBOB, iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyük sayısıdır.
Eğer iki sayının EBOB’u 1 ise, bu sayılar aralarında asal sayıdır. Bu yöntem daha büyük sayılarla çalışmak için daha hızlı ve daha pratik bir yöntemdir.
Aralarında asal ne demek diye merak eden okurlarımıza özetleyecek olursak, sayıların çarpanlarına dayalı birçok teoriye de yol açmıştır.
Örneğin, herhangi bir n sayısı için, aralarında asal olan sayıların sayısı, n’nin Euler fonksiyonu olarak adlandırılan bir fonksiyonla ifade edilebilir. Bu fonksiyon, özellikle sayı teorisinde ve kriptografide kullanılır.
Aralarında asal sayılar ayrıca RSA kriptografisi için de önemlidir. RSA kriptografisi, güvenli iletişim sağlamak için kullanılan bir şifreleme yöntemidir. Bu yöntem, aralarında asal sayılar olan iki büyük asal sayı kullanır.
Bu sayılar, çok büyük bir sayıyı oluşturur ve şifreleme anahtarları oluşturmak için kullanılır. Bu nedenle, aralarında asal sayılar, güvenli iletişim ve veri koruma için kritik öneme sahiptir.
Sonuç olarak, aralarında asal sayılar matematikte önemli bir konudur ve birçok alanda kullanılır.
Aralarında Asal Sayılar ile ilgili örnekler
Aralarında asal ne demek öğrenmek için örneklerle durumu pekiştirelim.
5 ve 7: Bu iki sayı aralarında asal sayıdır, çünkü herhangi bir pozitif tam sayı bölünebildikleri tek sayı 1’dir.
12 ve 25: Bu iki sayı aralarında asal değildir, çünkü 1 haricinde başka bir ortak bölenleri vardır. Örneğin, 12’nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 iken 25’in bölenleri 1, 5, 25’tir. Bu sayıların en büyük ortak böleni 1’dir.
17 ve 19: Bu iki sayı aralarında asal sayıdır. Herhangi bir pozitif tam sayı bölünebildikleri tek sayı 1’dir.
15 ve 28: Bu iki sayı aralarında asal değildir. Bölenlerine bakarsak, 15’in bölenleri 1, 3, 5, 15 iken 28’in bölenleri 1, 2, 4, 7, 14, 28’dir. Bu sayıların en büyük ortak böleni 1’den farklıdır.
3 ve 8: Bu iki sayı aralarında asal sayı değildir. Bölenlerine bakarsak, 3’ün bölenleri 1, 3 iken 8’in bölenleri 1, 2, 4, 8’dir. Bu sayıların en büyük ortak böleni 1’den farklıdır.
11 ve 20: Bu iki sayı aralarında asal sayıdır. Herhangi bir pozitif tam sayı bölünebildikleri tek sayı 1’dir.
Yukarıdaki örneklerden de görülebileceği gibi, aralarında asal sayılar matematikte oldukça önemlidir ve birçok alanda kullanılmaktadır.